仿射变换和线性变换的区别

仿射变换和线性变换是数学和计算机图形学中常见的两种变换。它们在很多应用中都很重要，但它们之间存在一些区别。

1. 定义：

   • 线性变换：线性变换保持向量空间的线性结构。对于向量空间中的任意向量u和v，以及标量a和b，线性变换T满足T(au + bv) = aT(u) + bT(v)。
   • 仿射变换：仿射变换可以看作是线性变换再加上一个平移。具体来说，仿射变换A可以表示为A(v) = T(v) + t，其中T是线性变换，t是一个固定的向量。

2. 性质：

   • 线性变换保持原点不变，即线性变换下，原点映射到原点。
   • 仿射变换不一定保持原点不变，可以进行平移操作。

3. 几何意义：

   • 线性变换包括旋转，缩放，和反射等操作，但不包括平移。
   • 仿射变换包括线性变换的所有操作外加平移。

4. 矩阵表示：

   • 线性变换可以通过一个矩阵乘法来表示，即y = Ax，其中A是一个变换矩阵，x是一个向量。
   • 仿射变换通常通过增广矩阵来表示，即y = Ax + b，或者使用齐次坐标，将它表示为一个线性变换：[y; 1] = [[A; t] [x; 1]]。

总的来说，仿射变换是线性变换的扩展，它包括了线性变换的所有特性，并且增加了平移的能力。在很多应用中，仿射变换更为通用，因为它能够描述更丰富的变换类型。