共轭转置

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共轭转置（Conjugate Transpose）是对复数矩阵进行操作的一种技术。对于实数矩阵，共轭转置就是普通的转置。共轭转置有时也被称为Hermitian转置，用符号 A* 或 Aᴴ 表示。

对于一个复数矩阵 A，其共轭转置 A* 是通过以下两个步骤得到的：

  1. 转置：将矩阵 A 的行和列互换，即 A[i, j] 变成 A[j, i]。

  2. 共轭：将转置后的矩阵中的每个元素取共轭，即如果一个元素是 a + bi，则它变成 a - bi。（这里 a 和 b 是实数，i 是虚数单位）。

数学上，这可以表示为：

(A*)[i, j] = (A[j, i])*

举个例子：

假设我们有一个复数矩阵 A：

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A = [1 + 2i, 3 + 4i]
    [5 + 6i, 7 + 8i]

其共轭转置 A* 为：

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A* = [1 - 2i, 5 - 6i]
     [3 - 4i, 7 - 8i]

在 NumPy 中，你可以使用 conj 和 T 属性，或者 numpy.conjugate 和 numpy.transpose 函数来计算一个矩阵的共轭转置。例如：

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import numpy as np

# 创建一个复数矩阵
A = np.array([[1 + 2j, 3 + 4j], [5 + 6j, 7 + 8j]])

# 计算共轭转置
A_conj_transpose = A.conj().T

# 或者使用 numpy 函数
A_conj_transpose = np.conjugate(A).transpose()

# 输出共轭转置的矩阵
print("Conjugate Transpose of A:")
print(A_conj_transpose)

这将输出上面例子中的共轭转置矩阵。