np.linalg.svd函数的奇异值分解详解

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np.linalg.svd 是一个在 NumPy 库中的函数，用于执行奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称 SVD）。奇异值分解是线性代数中的一种常见技术，用于将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。对于一个 m x n 的矩阵 A，SVD 分解可以表示为：

A = UΣV*

其中，U 是一个 m x m 的正交矩阵，Σ（使用希腊字母 Sigma 表示）是一个 m x n 的对角矩阵，其对角线上的元素是非负的，并按降序排列。这些对角线上的元素被称为奇异值。V* 是 V 的共轭转置，其中 V 是一个 n x n 的正交矩阵。

np.linalg.svd 函数的用法：

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U, s, Vh = np.linalg.svd(A, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)

参数说明：

  • A: 需要分解的矩阵。
  • full_matrices: 布尔值，如果为 True，则 U 和 V 为正方形矩阵。如果为 False，则输出的 U 和 V 的维数会被缩减。
  • compute_uv: 布尔值，如果为 True，则计算 U 和 V。如果为 False，则只计算奇异值向量 s。
  • hermitian: 布尔值，如果为 True，且输入矩阵是 Hermitian 的，SVD 将使用更加高效的算法。

返回值：

  • U: m x m 的正交矩阵。
  • s: 奇异值向量，长度为 min(m, n)。
  • Vh: n x n 的正交矩阵，是 V 的共轭转置。

现在来举个例子：

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import numpy as np

# 创建一个 3x2 的矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

# 进行奇异值分解
U, s, Vh = np.linalg.svd(A, full_matrices=True, compute_uv=True)

# 输出 U, s, Vh
print("U matrix:")
print(U)
print("\nSingular values:")
print(s)
print("\nV* matrix:")
print(Vh)

在这个例子中，我们对一个 3x2 的矩阵 A 进行奇异值分解。由于 full_matrices 参数设置为 True，U 矩阵的大小是 3x3，V* 矩阵的大小是 2x2。奇异值向量 s 的长度是 2。